O conjunto de Cantor

José Carlos Santos

Para cada $\alpha\in]0,1]$, defino o conjunto $C_\alpha$ do seguinte modo:

  1. Seja I0 o intervalo [0,1].
  2. Subtraio a I0 o intervalo aberto central de comprimento $\alpha/3$; seja I1 o conjunto restante. Por outras palavras, $I_1=I_0 \backslash]1/2-\alpha/6,1/2+\alpha/6[=[0,1/2-\alpha/6]\cup[1/2+\alpha/ 6,1]$.
  3. O conjunto I1 é formado pela reunião disjunta de dois intervalos fechados de [0,1]. A cada um destes intervalos subtraio o intervalo aberto central de comprimento $\alpha/9$. Seja I2 o conjunto restante.
  4. Construo assim sucessivamente uma família decrescente $(I_n)_{n\in \mathbb{N}_0}$ de sub-conjuntos de [0,1]. Cada In é uma reunião disjunta de 2n intervalos fechados de [0,1] e In+1 obtém-se retirando a cada um destes intervalos o intervalo aberto central de comprimento $\alpha/3^{n+1}$.
  5. Defino:

    \begin{displaymath}C_\alpha=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_0}I_n.\end{displaymath}

Há uma passagem nesta definição cuja legitimidade exige uma demonstração. Para que o quarto ponto faça sentido é necessário demonstrar que o comprimento de cada um dos 2n intervalos fechados cuja reunião disjunta forma In é maior de que $\alpha/3^{n+1}$; caso contrário, não faz sentido falar no «intervalo aberto central de comprimento $\alpha/3^{n+1}$». Para justificar a passagem, repare-se que o conjunto I1 é obtido retirando-se de [0,1] um segmento de comprimento $\alpha/3$; logo, $l(I_1)=1-\alpha/3$. Em seguida, obtém-se I2 retirando de I1 dois segmentos de comprimento $\alpha/9$, pelo que $l(I_2)=1- \alpha/3-2\alpha/9$. Vê-se então que se tem:

\begin{displaymath}\forall n\in\mathbb{N}_0\;l(I_n)=1-\sum_{k=1}^n\frac{\display... ...\alpha\left(1-\frac{\displaystyle2^n}{\displaystyle3^n} \right)\end{displaymath}

e então o que se quer mostrar é que:

\begin{displaymath}\forall n\in\mathbb{N}_0\;\frac{\displaystyle1}{\displaystyle... ...)\right)> \frac{\displaystyle\alpha}{\displaystyle3^{n+1}}\cdot\end{displaymath}

Verifica-se facilmente que esta expressão equivale a:

\begin{displaymath}\forall n\in\mathbb{N}_0\;\frac{\displaystyle1 -\alpha}{\displaystyle2^n}>-\frac{\displaystyle2\alpha}{\displaystyle3^{n+1}} \end{displaymath}

e esta última proposição é obviamente verdadeira.1

Usualmente, a expressão «conjunto de Cantor» refere-se ao conjunto C1. Por isso, para designar este conjunto em particular vai ser usada a letra C, sem qualquer índice.

Teorema: Para cada $\alpha\in]0,1]$ tem-se:
  1. O cardinal de $C_\alpha$ é igual ao cardinal de $\mathbb{R}$.
  2. $l(C_\alpha)=1-\alpha$.
  3. $C_\alpha$ é compacto.
  4. $C_\alpha$ é perfeito (i. e. não tem pontos isolados).
  5. $C_\alpha$ é totalmente desconexo (i. e. os únicos sub-conjuntos conexos são os que são formados por um único ponto).
Além disso, o conjunto C é formado pelos números de [0,1] que podem ser escritos na base 3 usando unicamente os algarismos 0 e 2.

Demonstração: Cada In é reunião disjunta de 2n intervalos fechados; sejam I(n,0), I(n,1), ..., I(n,2n−1) esses conjuntos, numerados de modo que se k<l, então qualquer elemento de I(n,k) seja menor do que qualquer elemento de I(n,l). Vê-se então que:
\begin{displaymath} I(n,k)\supset I(n+1,l)\mbox{ sse }l=2k\mbox{ ou }l=2k+1. \end{displaymath} (1)

Visto que os intervalos I(n,0), I(n,1),..., I(n,2n−1) são dois a dois disjuntos, o comprimento de cada um deles não excede 2−n. Além disso, os extremos de cada I(n,k) são elementos de $C_\alpha$, pois $I(n,k)\backslash C_\alpha$ é um aberto e como tal está contido no interior de I(n,k), enquanto que os extremos de I(n,k) estão na fronteira. Repare-se que se $x\in C_\alpha$, então $x\in\bigcap_{n\in \mathbb{N}_0}I(n,k(n))$, sendo os k(n) tais que $I(n,k(n))\supset I(n+1,k(n+1))$. De facto $\{x\}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_0}I(n,k(n))$, visto que o comprimento dos intervalos converge para zero.

Seja $2^{\mathbb{N}}$ o conjunto das funções de $\mathbb{N}$ em {0,1}. Vou construir uma bijecção B entre $2^{\mathbb{N}}$ e $C_\alpha$. Seja $(a_n)_n\in 2^{\mathbb{N}}$. Defino então B((an)n) como sendo o único elemento do conjunto:

\begin{displaymath}\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I\left(n,\sum_{k=1}^na_k2^{n-k}\right).\end{displaymath}

Para justificar que esta definição faz sentido, veja-se que (1) implica que a família de intervalos de que estamos a calcular a intersecção é decrescente. Como todos estes intervalos são fechados, o princípio do encaixe dos intervalos diz que a intersecção não é vazia. Finalmente, como o comprimento dos intervalos tende para 0, a intersecção reduz-se a um ponto. Vê-se pela definição de $C_\alpha$ que esse ponto está necessariamente em $C_\alpha$.

Para ver que a função B é injectiva, tomo dois elementos distintos (an)n e (bn)n de $2^{\mathbb{N}}$. Seja N o menor número natural tal que $a_N\neq b_N$. Então $B((a_n)_n)\in I(N,\sum_{k=1}^Na_k2^{N-k})$ e $B((b_n)_n)\in I(N,\sum_{k=1}^Nb_k2^{N-k})$. Estes dois conjuntos são disjuntos, de onde se tira que $B((a_n)_n)\neq B((b_n)_n)$. Quanto à sobrejectividade, se $x\in C_\alpha$ então $\{x\}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_0}I(n,k(n))$. Visto que cada I(n,k(n)) contém I(n+1,k(n+1)), k(n+1)=2k(n) ou k(n+1)=2k(n)+1. Vê-se então que x=B((an)n), sendo an tal que k(n)=2k(n−1)+an.2 Visto que o cardinal de $\mathbb{R}$ é igual ao cardinal de $2^{\mathbb{N}}$, deduz-se que também é igual ao cardinal de $C_\alpha$.

O conjunto $C_\alpha$ está contido em [0,1] e $[0,1]\backslash C_\alpha$ é a reunião disjunta de um intervalo de comprimento $\alpha/3$ com dois intervalos de comprimento $\alpha/9$ com quatro intervalos de comprimento $\alpha/27$, etc. Logo, tem-se:

\begin{displaymath}l([0,1]\backslash C_\alpha)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\displaystyle2^{k-1} \alpha}{\displaystyle3^k}=\alpha\end{displaymath}

pelo que $l(C_\alpha)=1-\alpha$.

O conjunto $C_\alpha$ foi definido como sendo a intersecção de uma família de compactos. Logo, $C_\alpha$ é compacto.

Afirmar que $C_\alpha$ é totalmente desconexo é o mesmo que afirmar que não contém nenhum intervalo ]a,b[. Para justificar isso, tomo um $n\in{ \mathbb{N}}$. Então tem-se:

\begin{displaymath}C_\alpha\subset\bigcup_{j=0}^{2^n-1 }I(n,j).\end{displaymath}

Esta reunião é disjunta. Se escolher n tal que 2−n<b−a, então cada I(n,j) tem comprimento inferior a b−a; logo:

\begin{displaymath}]a,b[\not\subset\bigcup_{j=0}^{2^n-1}I(n,j).\end{displaymath}

Seja $x\in C_\alpha$. Vou mostrar que x não é um ponto isolado. Sei que:

\begin{displaymath}\{x\}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_0}I(n,k(n)).\end{displaymath}

Considero então as sucessões:

\begin{eqnarray*} m_n&=&{\rm min}\,I(n,k(n))\\ M_n&=&\mbox{m\'ax}\,I(n,k(n)) \end{eqnarray*}


Os extremos de cada intervalo I(n,j) pertencem a $C_\alpha$, pelo que as duas sucessões são sucessões de elementos de $C_\alpha$. Vê-se facilmente que se tem:
  1. $\forall n\in\mathbb{N}_0\;m_n\leq x\leq M_n$
  2. $\forall n\in\mathbb{N}_0\;0<M_n-m_n\leq2^{-n}$
pelo que ambas as sucessões (mn)n e (Mn)n convergem para x e pelo menos uma delas não é constante a partir de uma certa ordem. Logo, x não é um ponto isolado.

Finalmente, no caso do conjunto C, verifica-se facilmente que $I_n\;(n \geq1)$ é formado pelos números do intervalo [0,1] que se podem escrever na base 3 usando unicamente os algarismos 0 e 2 nas n primeiras casas decimais.3

Q. E. D.

Exercício: Mostre que se U é um aberto de $\mathbb{R}$ e $\alpha\in]0,1]$, então $l(U\cap C_\alpha)<l(U)$.

Nota: Entre as propriedades mais interessantes do conjunto de Cantor destacam-se as seguintes:
  1. Qualquer espaço métrico compacto, perfeito e totalmente desconexo é homeomorfo a C.
  2. Se M é um espaço métrico compacto, então existe uma aplicação contínua sobrejectiva de C em M.
Para a demonstração destes resultados, veja-se o livro General Topology de S. Willard.

Notas

... verdadeira.1
Também se deduz desta expressão que $\alpha$ não pode ser maior do que 1.
....2
De facto, se se introduzir em $2^{\mathbb{N}}$ a distância $d((a_n)_n,(b_n)_n)=\sum_n2^{-n}\vert a_n-b_n\vert$, B é um homeomorfismo. Isto mostra que os $C_\alpha$ são homeomorfos dois a dois.
... decimais.3
Repare-se que $1\in C$, pois na base 3 o número 1 pode-se escrever sob a forma 0,222222222222…

2001–01–07